曲率:就是半徑的倒數(shù)
曲率是幾何體不平坦程度的一種衡量。平坦對(duì)不同的幾何體有不同的意義。
平面曲線的曲率
 
 
曲線 C 在 P 點(diǎn)的密切圓和曲率半徑
對(duì)于平面曲線 C，在一點(diǎn)P的曲率大小等于密切圓（英語(yǔ)：Osculating circle）半徑的倒數(shù)，它是一個(gè)指向該圓圓心的向量。其大小可用屈光度（dioptre）衡量，1屈光度等于1（弧度）每米。此密切圓的半徑即為曲率半徑。
密切圓的半徑越小，曲率越大；所以曲線接近平直的時(shí)候，曲率接近0，而當(dāng)曲線急速轉(zhuǎn)彎時(shí)，曲率很大。
直線曲率處處為0；半徑為r的圓曲率處處為1/r。
[編輯]局部表達(dá)式
若曲線   其曲率為
 
對(duì)于一個(gè)以參數(shù)化形式給出的平面曲線  其曲率為
 
對(duì)于隱式給出的平面曲線  其曲率為
 
也就是， 的梯度的方向的散度。 最后的公式也給出了在歐幾里得空間中的超曲面的平均曲率（可以差一個(gè)常數(shù)）。
[編輯]空間曲線的曲率
對(duì)于一個(gè)以參數(shù)化形式給出的空間曲線 其曲率為
 
[編輯]三維空間中的曲面曲率
對(duì)于嵌入在歐幾里得空間R3中的二維曲面，有兩種曲率存在：高斯曲率和平均曲率。為計(jì)算在曲面給定點(diǎn)的曲率，考慮曲面和由在該點(diǎn)的法向量和某一切向量所確定的平面的交集。這個(gè)交集是一個(gè)平面曲線，所以有一個(gè)曲率；如果選擇其它切向量，這個(gè)曲率會(huì)改變，并且有兩個(gè)極值-最大和最小曲率，稱為主曲率 k1 和k2，極值方向稱為主方向。這里我們采用在曲線向和曲面選定法向的相同方向繞轉(zhuǎn)的時(shí)候把曲率置為正數(shù)，否則為負(fù)的約定。
高斯曲率，以高斯命名，等于主曲率的乘積，k1k2. 它的單位為1／長(zhǎng)度2，對(duì)于球、橢球、雙葉雙曲面的一葉、橢圓拋物面為正，對(duì)于偽球面、 單葉雙曲面、雙曲拋物面為負(fù)，對(duì)平面、圓柱面為0。它決定了曲面局部是凸（正的時(shí)候）還是局部鞍點(diǎn)（負(fù)的時(shí)候）。
高斯曲率的以上定義是外在的，因?yàn)樗�用了曲面�?nbsp;R3中的嵌入，法向量，外部平面等等。但是高斯曲率實(shí)際上是曲面的內(nèi)在屬性，也就是它不依賴于曲面的特定嵌入；直觀的講，這意味著活在曲面上的螞蟻可以確定高斯曲率。形式化的，高斯曲率只依賴于曲面的黎曼度量。這就是高斯著名的絕妙定理，在他在研究地理測(cè)繪和地圖制作時(shí)發(fā)現(xiàn)。
高斯曲率在一點(diǎn)P的內(nèi)在定義的一種：想象一直用一條長(zhǎng)為r的短線綁在P。她在線拉直的時(shí)候繞P點(diǎn)跑并測(cè)量繞P點(diǎn)的一圈的周長(zhǎng)C(r)。如果曲面是平的，她會(huì)發(fā)現(xiàn) C(r) = 2πr。在彎曲的曲面上，C(r)的公式不同，P點(diǎn)的高斯曲率 K可以這樣計(jì)算：
 
高斯曲率在整個(gè)曲面上的積分和曲面的歐拉示性數(shù)有密切關(guān)聯(lián)；參見(jiàn)高斯-博內(nèi)定理。
平均曲率等于主曲率的和，k1+k2，除以 2。其單位為1／長(zhǎng)度。平均曲率和曲面面積的第一變分密切相關(guān)，特別的，像肥皂膜這樣的最小曲面平均曲率為0，而肥皂泡平均曲率為常數(shù)。不像高斯曲率，平均曲率依賴于嵌入，例如，一個(gè)圓柱和一個(gè)平面是局部等距的，但是平面的平均曲率為0，而圓柱的非零。